Wet van Stokes

In dit applet wordt gekeken naar een bol met een massa m een straal R, die door een homogene vloeistof zakt. Als de bol naar beneden zakt, werken er verschillende krachten op de bol: zijn gewicht, de opwaartse kracht (ervan uitgaande dat het gehele bol ondergedompeld is) en een wrijvingskracht die rechtevenredig is met de snelheid van de bol (hierbij gaan we ervan uit dat de vloeistof zich laminair blijft gedragen).

Het gewicht is het product van de massa en de gravitatieversnelling g en de massa is weer het product van de dichtheid van het materiaal ρ_b en het volume van de bol.

mg= ρ_b⁴/₃π R³g

Volgens het principe van Archimedes is de opwaartse kracht gelijk aan het product van de dichtheid van de vloeistof ρ_v en het ondergedompelde volume van de bol en de valversnelling g.

F_op = ρ_v⁴/₃πR³g

De wrijvingskracht is evenredig met de snelheid en een factor die volgens de Wet van Stokes moet worden toegevoegd. Fw = 6 π R η v a = mg - Fop -Fw

Waarbij h de viscositeit van de vloeistof voorstelt. Alle factoren in ogenschouw genomen, kunnen voor de beweging van de bol door de vloeistof schrijven:

ma =mg - F_op -F_w

Als de eindsnelheid v_l (limiet snelheid) is behaald, is de versnelling nul en dus ook de term ma. De som van de krachten is nul. We krijgen dan de volgende vergelijking:

mg - F_op = F_w De eindsnelheid v_l van de bol is

v_l = (2g(ρ_b-ρ_v)R²)/ 9 η

De vergelijking van de beweging is

waarin F het verschil is tussen het gewicht en de opwaartse kracht F=mg-F_op en k=6πRh

Als we het geheel integreren om de snelheid als functie van de tijd te krijgen,

dan krijgen we

Deze vergelijking vertelt ons dat de eindsnelheid vl in het oneindige gehaald wordt. In de v-t-diagram hiernaast is te zien dat de eindsnelheid v een asymptoot is aan vl.

Als de vergelijking van de snelheid als functie van de tijd wordt geïntegreerd, kan de functie van de positie x van de bewegende bol in de tijd gevonden worden. Daarbij wordt uitgegaan dat de bol begon op x=0, op tijdstip t=0.

wordt

Uit bovenstaande vergelijking blijkt dat na een bepaalde tijd dat de verplaatsing van de bol rechtevenredig is met de tijd.

De verschillen tussen een vrije val en een beweging in een vloeistof zijn in onderstaande tabel aangegeven

Vrije val	Beweging in een viscose vloeistof
De snelheid is rechtevenredig met de tijd	De snelheid heeft een constante waarde
De verplaatsing is rechtevenredig met de tijd in het kwadraat	De verplaatsing is rechtevenredig met de tijd

• Aanwijzingen voor de animatie
  1. Het materiaal waarvan de bol gemaakt is kun je veranderen in het uitklapvenster Bol. Je kunt ook zelf de dichtheid intypen.

  Materiaal van de bol	Dichtheid (g/cm3)
  IJzer	7.88
  Aluminium	2.70
  Koper	8.93
  Lood	11.35
  Wolfraam	19.34

  2. De straal van de bol in mm is ook aan te passen.
  3. Er kan een keuze gemaakt worden uit verschillende vloeistoffen bij het kopje Vloeistof

     Vloeistof	Dichtheid (g/cm3)	Viscositeit (kg/m·s)
     Water	1.0	0.00105
     Glycerine	1.26	1.3923
     Benzeen	0.88	0.000673
     Olie	0.88	0.391

  4. Klik daarna op Start om te beginnen.
  5. Met de knop Pauze en Doorgaan, is het mogelijk om de animatie tijdelijk te stoppen.
  6. Door op de knop Stap te klikken, doorloopt de animatie maar een klein stukje.
  7. Om te ontdekken waarvan en hoe de eindsnelheid afhankelijk is van de straal van de bol, de dichtheid van de bol en de viscositeit van de vloeistof:
     1. Varieer de straal van de bol maar neem steeds hetzelfde materiaal en vloeistof.
        
     2. Neem steeds dezelfde straal, maar neem een ander materiaal en houd ook de vloeistof steeds hetzelfde.
        
     3. Neem steeds een andere vloeistof en houd de rest steeds het zelfde.
  8. De rode cirkel stelt de bol voor die door de vloeistof zakt. Op de bol werken in beide richtingen een kracht:
     • De rode pijl geeft het verschil aan tussen de opwaartse kracht en het gewicht.
     • De blauwe pijl geeft de wrijvingskracht aan die evenredig is met kv.
  9. Als de pijlen even groot zijn, is de snelheid van de bol constant en gelijk aan de eindsnelheid.
  10. Kijk ook eens op Wet van Stokes Re«1 bij een Reynoldsgetal of Wet van Stokes Re»1 bij een Reynoldsgetal »1.